902 PETRINI, CONVERGENCE ET DIVERGENCE DES SERIES. 



§ 4. Criteres générales de convergence et de divergence des 

 series ä termes posiHfs. 



M. Pringsheim ^) a donné un exposé systématique de cri- 

 teres de convergence et de divergence des series a termes posi- 

 tifs. Cependant on pourra considérer la plupart d'elles comme 

 des conséquences iramédiates d'un théoréme qui se déduit im- 

 médiatenient de Tintégrale d'EuLER dont nous avons parle plus 

 haut. Dans la demonstration du théoréme d'EüLER on a traité 

 Tunité comme la difFérence J72 de la variable n. Mais si les 

 termes de la serie considérée ont un facteur JMn on pourra 

 traiter la variable M^ de la méme maniére qu'auparavant on a 

 traité la variable n, pourvu que Mn soit une fonction positive et 

 croissante de n et lim Mn = co. Ces considérations suffisent 



pour mettre en évidence la lem me suivante: 



Lenime. Si O < Mn < Mn+i , lim M„ — 00 , la serie 



CO 



r = 2 (^« + 1 — ^^n)(p{Mn) , 0<,(p„ + l£ CPn , 



O 



est convergente ou divergente, selon que Vintégrale 



r 



W,. = Ccp{a;)da; , 



a 



ait une limite finie ou infinie pour r = 00. 



. Remarqiie. Si par rapport å cpn on ne sait que g)„ > O, 

 on ne pourra di re que 



la serie Y est divergente, si lim W,. = 00 et, par suite, 



r= 00 



si la serie Y est convergente, lim Wy. reste finie. 



De cette lemme on tire immédiatement le 

 Theoreme fondamental: La serie 



r - ^ (^» + 1 — Mn)(p{Mn) O < Mn < M^ + i , Hm Mn=oo, 



') A. PRiNGSiiEni: »Allgemeine Theorie der Divergenz nnd Convergenz von 

 Reihen mit positiven Gliedern». Math. Ann. Bd 35, 1890 p. 297—394. 



