ÖPVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. PÜRIIANDLINGAll 1900, N:0 7. !K)H 



est convergente ou divergente en méme ternps qtte le serie 



o 

 De ce théoréme on tire une critere generale qui renfenne 

 comme cas particuliers toutes les criteres de premiére espöce de 

 M. Pringsheim. 1) 



Critere generale de potenziere espece. Soit 



l„ = {Mn + l — Mn)cp{Mn) • — , ^0„ > O . 



CO 



l:o) Si lim yl„ > O , ta serie 'SiVn est convergente, si la 



M = co ■^^ 



00 



serie y = 'S cp(m) est convergente . 



1 



CO 



2:o) Si lim /l„ est finie, la serie Swn est divergente 



?l = 00 t" 



CO 



si la serie y = 'S (p{m) est divergente. 

 En efFet, on trouvera 



011 I' est une valeur moyenne de 1. Si lim A„ > O donc 



?i = CO 



aussi I' > O, '.• si F est finie, il faut que 2iOn soit aussi 

 finie. Mais d'apres le théoréme fondamental Y est finie, si y 

 est finie, donc etc. D'autre part, si lim A„ n'est pas infinie, 



I' n'est pas infinie •.• si Y est infini il faut que liVn soit infinie, 



par suite, d'apres le théoréme fondamental, 2iOn est infini si y 



est infinie. 



111 1 



Remarque: Pour wim) = , = — :. , = — tt-. , — ^r~7 — \ ' 



on retrouvera les criteres (A), (B), (C), (B) 



La:{m) (löga, 7w)? 



) L. c. p. 836. 



