904 PETRINI, CONVERGENCE ET DIVERGENCE DES SERIES. 



de M. Pringsheim. La seconde d'eux peut étre déinontré d'une 

 maniere directe assez simple (voir la derniere partie du dernier 



théoreme du § précédent en y posant q)n = -vr I • Les autre 



criteres, dites disjonctives, s'obtiennent pour g)„ = e?^«. 



On pourra d'une maniere analogue trouver une critere plus 

 generale que ceux dites de seconde espece, mais nous nous bor- 

 nerons å considérer les criteres de Kummer. 



Critere de convergence. Soit 



In = Nn — Nn+\ • — — , iV„ > ct finie pour n finie, ?r„ > 0. 



Wn 



Si ^m > a > , 2iVn est finie. 



En efFet, on trouvera successivement 



m — 1 m — 1 »j — 1 



1 1 1 



X' étant une valeur moyenne de A •.* Z' > a 



m — 1 1 



'.• ^ zü„ < — N^io^ , quelle que soit m. 



1 



Remarque. Cette critere est un cas particulier de la sui- 

 vante: Soit 



ifi(a; + öw) ^ «/'('"^O P*^*^^' ^'"^ ^ ^' y(*^') ^"'® P^*^*' '^' fi"i^> '''» ^ ^ 



Si ^„ > « > , 2'?t'„ es< convergente. 

 En effet, on voit immédiatement Xn+\<.Xn '•' ^(-^w)^^' ^ finie, 



m — 1 



••• 2 l^M — ^{xn+i)\cp{oCn) < öV'O^',) • Mais 



2 ^«^t'n > « 2 



j)i — 1 

 1 



m — 1 Q CO 



1 1 



