900 PETRINI, CONVERGENCE ET DIVERGENCE DES SERIES. 



§ 5. Theoreme sur les fonctions continues. 



Soit /'(.^') une fonction finie et continue, qui est tou- 

 jours croissante depuis .c = .x'o jusqu'a éC = .t-j , .r^ <C .2?i . 

 Noiis déraontrerons qua dans le voisinage de chaque point x, 

 :Vfy <^ X <i ^i , ^l Y a une infinite de points .Xy , pour lesquels on 

 aura lim cp^ = oü q)^ est definie par l'equation 



M=co 



Vy resp, ify étant le terme general d'une serie divergente resp. 

 convergente quelconqiie donnée d'avance. 



En eftet, posons 



Z„ = (/(a'„+i) — /V„)) — •.• In > . 



Mais Um f(^Xn) est finie •.• .3'/l„u„ est finie. La serie 2vn étant 



n = oo 



divergente, il faut done que lim l„ soit = 0. 

 Posons de nierae 



Si M„ est donné on peut choisir les x^^ de maniére que lim j«„ 

 soit finie et =)= 0. P. e. si l'on prend 



f-in 



-zu. 



on voit qu'on pourra déterminer les .v^ successivement d'une 



— l 

 maniere unique. Posons cp„ = — 



., Å^n..)-Å^n) _-J_n^ lim y. = . 

 ^ti + 1 ^n ^'' «. 7i = CO 



II nous reste a démontrer que lim \p„ est finie, si l'on pose 



W = oo 



U/l Uy •^'« + 1 



