ÖPVERSWT AP K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLIN(iAR 1 900, N;0 H. J)69 



Also 



zz,j.,, — z,.z„ = con.st. 



Es können also keine anderen Flächen in der angegebenen 

 Weise auf eine Fläche constanter Kriinimung abgebildet werden, 

 als Flächen, die selbst constante Krümmung haben. Es folgt 

 dies auch aus der Untersuchung Lie's über Flächen, deren Schar 

 von geodätischen Kreisen eine endliche, continuierliche Gruppe 

 von Berührungstransformationen gestattet. Denn, weil die geodä- 

 tischen Kreise einer Fläche constanter Krümmung eine 10- 

 gliedrige, continuierliche Gruppe von Berührungstransformationen 

 gestatten, so müssen auch die geodätischen Kreise der abgebil- 

 deten Fläche eine 10-gliedrige, continuierliche Gruppe von Be- 

 rührungstransformationen gestatten, während die Flächen con- 

 stanter Krümmung die einzigen sind, die diese Eigenschaft haben. 



Das Resultat der Untersuchung ist also, dass keine anderen 

 Flächen durch eigentliche Berührungstransformationen so auf ein- 

 ander abgebildet werden können, dass geodätische Kreise in geo- 

 dätische Kreise übergehen, als die Flächen constanter Krüm- 

 mung. Umgekehrt ist es eine wohlbekannte Thatsache, dass 

 alle Flächen constanter Krümmung auf diese Weise auf ein- 

 ander abgebildet werden können. Sie können ja alle durch 

 Punkttransformationen so auf die Ebene abgebildet werden, dass 

 die geodätischen Kreise der Fläche in Kreise übergehen. ^) 



LiE hat-) den Satz aufgestellt: Wenn die Differentialgleich- 

 ung der geodätischen Kreise einer Fläche eine infinitesimale Be- 

 rührungstransformation gestattet, die nicht eine erweiterte Punkt- 

 transformation ist, so hat die Fläche constante Krümmung. Man 

 kann nach dem Vorhergehenden den Satz folgendermassen er- 

 Aveitern. Giebt es eine einzige eigentliche Berührungstransforma- 

 tion, welche die geodätischen Kreise einer Fläche in die geodäti- 

 schen Kreise auf dieselbe oder eine andere Fläche überführt, hat 

 die Fläche constante Krümmung. Es giebt folglich keine andere 



') Darboux, Theorie gén. des surfaces. T. III, p. 414. 

 ^) LiE-ScHEFFERS, Geometrie der Berührungstransf., p. 148. 



