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derselben (leodätisrlien Kriiiiiimiii!^ in Krci.so, welche den II;iu[)t- 

 kreis unter denselben Winkel schneiden, übergehen. Und dieses 

 gilt offenbar auch, wenn wir <f imaginäre Werte annehmen lassen. 

 In diesem Falle wird der Radius des Hauptkreises reell. 



7. Das oben aufgestellte Problem ist also auf das 1^'olgen- 

 ■de reduciert: Man untersuche, wie ein System von Kreisen, die 

 einen gegebenen Kreis unter denselben Winkel schneiden, durch 

 •die allgemeinste Berührungstransformation, welche die Kreise der 

 Ebene in Kreise überführt, transformirt wird. Die Gleichung 

 'des fraglichen Hauptkreises schreiben wir so: 



.X- + y- = R- . 



Die Bedingung dafür dass ein Kreis 



mit dem Hauptkreise einen Winkel q) einschliesst, ist dann 



(29) R- + y- + 2Ry cos cp = a- + ß- . 



Man hat folglich zu untersuchen, wie diese Relation zwi- 

 schen den drei Bestimmungselementen des Kreises durch die er- 

 wähnten Berührungstransformationen transformirt wird. Die Ant- 

 wort auf diese Frage wird durch eine einfache raumgeometrische 

 Betrachtung gewonnen. Fasst man nämlich a, ß und — iy =^ d 

 als rechtwinklige Coordinaten eines Punktes im Räume auf, so hat 

 man eine Correspondenz zwischen der Ebene und dem Räume 

 begründet, bei dem einem Kreise der Ebene ein Punkt des Rau- 

 mes entspricht. Unter den Eigenschaften dieser Correspondenz 

 führe ich die folgende an, welche von LiE gefunden ist: ') Jeder 

 ■conformen Punkttransformation im Räume entspricht in der 

 Ebene eine Berührungstransformation, welche jeden Kreis in 

 einen Kreis überführt. Umgekehrt entspricht jeder Berührungs- 

 transformation von dieser x\rt in der Ebene eine conforme Punkt- 

 transformation im Räume. Bekanntlich haben alle conformen 

 Punkttransforraationen des Raumes die Eigenschaft, dass sie jede 



') Man sehe z. B. Geoui. d. Berührnngstransf. p. 437. 



