1008 WIGERT, SÜR LES FUNCTIONS ENTIÉRES. 



Notre théoreme est donc demontré, raais voila une question 

 d'interet qui se présente d'elle-meme: Est-ce que les conditions 

 (3) et (4) détenninent complétement la fouction entiére G{x)? 

 Dans ce qui suit je vais montrer qu'il en est ainsi, de sorte que 

 le Probleme proposé n'admet d'autre Solution que celle qui est 

 donnée par la séiie (22). 



Supposons en effet qu'il existe deux fonctions entiéres 



00 00 



G^j(^) = 2 Ayo;'' , G^{x) = 2 ^v^" 



v = G y = 



satisfaisant aux conditions (o) et (4). 



D'abord il est clair que leur difFérence 



j/ = 



satisfait aussi ä la condition (4), car on peut fixer n^ tellement que 



\M<[~\\ \Bn\<[l\ {n>n') 



£ étant donnée å l'avance teile petite que Ton veut. Donc 



\A„~B4^\An\ + |J5„|<2/^r {n>n') 



et enfin 



n\'\An~B„\<ey2 etc. 



A cause des équations (3) la fonction 6rj(^) — G^{x) doit 

 en outre s'annuller pour tous les nombres entiers et positifs. 

 Or, nous allons démontrer que cela est impossible, quand la 

 fonction satisfait a la condition (4). 



Soit en efFet 



?j = 



F(.o=2 



11 = 



une fonction entiére, et soit de plus 



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lim n\\ 6-„ I = O 



