1100 BENDIXSON, LES RACINES d'uNB ÉQUATION FUNDAMENTALE. 



Theoreme II. 



Soient M la plus grande et m la plus petite des racines 

 de Véquation 



a,] — / , 



9 ' "'''22 



^ ettort /U ■ 



a,;i + Clin Cln'i, + «2« 



a\n 



+ 



ClnX 





2 





^2ra 



— 



<^n2 





2 





"'nn 



— 



l 



on aura toujours 



m<R{sr)<M. 



Afin d'etablir nos théoreraes nous envisageons le Systeme 

 d'equations 



(a,j 8l)X^ + aj2^2 + • • • + «In-^ji =0^ 



tXg, Ä,'j + («22 ^^2)^-2 + . . . + a^nXn = ^ 



(3) 



S2 désignaiit une racine quelconque de l'equation (1). On sait 

 alors que ce Systeme admet toujours une infinite de Solutions 



t??j . . . Xii . 



Mettons 



si = a ■\- ßi 



^v ^^ Si' + '*Jj'^ 7' = 1 , . . . , n 



En sépaiant la partie reelle de la partie imaginaire, les 

 équations (3) peuvent s'ecrire 



(4) a,,i^, + ay2^2 + • • • + Clrn^n — («^»' — ß'^v) = r = l, ...,n 



(5) a,4?j, + a,,2'»i2 + • • ■ + a,/ni]« — (arj,' + ß^t) =0 r = i , . . . , «. 

 Multiplions la premiere de ces équations par i],, et la seconde 



par f,., on aura 



«)'l ["»Ji^»' — ^1^»'] + aj'2 [*]2^»' — ^2^r] + . . . + «rn ['»Jfl^y — ^n'»j7'] = 



En faisant la sommation de ces équations on aura 



