176 BERGEK, EATIONELA HELA FUNKTIONER. 



Genom upprepad användning af Rolle's teorem på funk- 

 tionen 



e- ""x"" , 



hvilken har n rötter lika med noll, och som är noll äfven för 

 ^r = CO, finna vi, att den n:iQ deri vätan 



dt" , 



--. — Ke-^x'"^ 

 dx'' ^ ' 



har n positiva rötter, som äro sins emellan olika, och af defini- 

 tionen (1) följer då, att den rationela hela funktionen Rn{x) 

 har alla sina n rötter positiva och olika. 



Teoreni I. Om n är ett helt positivt tal, så har funktionen 

 Ii„{x') alla sina n rötter positiva samt sins emellan olika. 



Om vi med h beteckna något af talen 



1 , 2 , o , ... n — 1 , n , 

 der 7z > 1 , så är identiskt 



(4) 



in — ■ ?i + l 1» — h 



dx' 



dx' 



= ;sl/"-"«s^^ (-'•'■■')?■ 



Om vi förlänga denna identitet med ( — 1)''^^ samt sätta 

 h successivt lika med 1, 2, 3, ...n, och om vi sedan addera 

 de sålunda erhållna likheterna, så finna vi för ?z ^ 1 



h = n 



(5) i 



(_!).-!/(. -!)(.,) __^_.(,-..^n) 



h = n 



A = l 

 h=n 



=2^(-i)"-'sr""(^'>s«^' 



{e-'x")\ 



och således efter reduktioner i venstra membrum 



