«FVERSIGT AF K, VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1899, N:0 3, 177 



<6) 



in 

 -^^'"'^ 1^ ^^' ■''^"^ ~ ^~~ l)"/^"^(^')^ " """" 

 h = 7) 



Om vi nu för enkelhetens skull antaga, att f(.v) är en ra- 

 tionel hel funktion af x, samt förlänga eqv. (6) med da; samt 

 integrera mellan gränserna :v = O och .r^oo, sä finna vi 



00 00 



o o 



A = 1 o 



Summan i högra membrum af denna likhet är tydligen 

 r)o\\, ty då h är lika med något af talen 1, 2, ...n, så är 

 funktionen 



m — h 



/■('' - ^x) 4- ; (e- *«") 



lika med noll både för x = O och för x = oo, och alltså följer 

 af eqv. (7) för n^l 



00 CO 



J^ in r 



f(x)-^^{e-^''x'')dx =^ (— l)''|/("^(A')e--^A'"cZ.'r, 



o o 



hvilken likhet gäller äfven för n = 0. Om vi använda defini- 

 tionen (1) på eqv. (8), sä erhålles formeln 



CO 00 



(9) fe-''f(x)R„{x)dx =Je-'''x'\f^%r)dx , 



o o 



h varmed följande teorem är bevisadt. 



Teorem II. Om n är ett helt positivt tal eller noll, och 

 om /(,r) är en rationel hel funktion af ,r, så är 



OD 00 



fe- ^f{x)R„{x)dx = fe- ^x^'f'%v)dx . 



