<ÖFVEßSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1899, N:0 3. 179 



Om vi i den första formeln i teorem III införa 



(16) /Or) = R„iw) , 

 så erhålla vi för m < n 



CO 



(17) je-'-R„ia')R,ix)dx = 0, 

 o 



och emedan m och n här ingå symetriskt, så gäller denna for- 

 mel för m 5 n. Om vi i den andra formeln i teorem III sätta 



/(^) = B„(a') , 

 så erhålles 



CO 



<18) fe- ^Rriocy'dx = (1 . 2 . d...nf. 



o 



Teorem lY. Om m och n äro hela positiva tal eller noll, 

 «å är 



je- ^R^{w)Rl{x)dx == O , 

 o 



•om m och n äro olika, men 



je- -'Rnixfdx = (1 . 2 . 3 . . . nf . 



o I 



Vi beteckna nu med fn{x) en rationel hel funktion af x, 

 livars gradtal är mindre än eller lika med n. Då är identiskt 



(19) fn{x) = anRn{x) + {— a„R,,{x) + fn{x)] . 



Emedan Rn{x) är en hel funktion af gradtalet n, så kan 

 man bestämma konstanten a„ så, att funktionen inom parentesen 

 blir af gradtalet n — 1 eller af ännu lägre gradtal. Vi få alltså 

 en identitet af formen 



fn{x) = a„i?„(.r) + /„ _ i(,^') . 



På samma sätt erhålles 



fn-\{x) = a„_iÄ„_i(.r) + fn-2{x) , 

 fn-l{x) = a„_2^«-2G^;) + fn-s{^) , 



