180 BERGER, RATIONELA HELA FUNKTIONER. 



/i(^)== a^R^{x) +/oG^'), 



alldenstund f^ix) är en konstant. Genom addition af dessa lik- 

 heter följer identiteten 



r=n 



(20) /;(^) = V«,,i^,(^) 



eller, om vi här skrifva f{x) i stället för fn{x), 



r = n 



(21) f{x) =2_J'rRr{^) ■ 



/■ = ü 



Härmed är bevisadt, att hvarje polynora f{x), hvars gradtal 

 är mindre än eller lika med n. kan uttryckas lineärt medelst 

 funktionerna 



R^x) , R,{.v) , . . . R„{.i^) ; 



det återstår blott att bestämma koefficienterna a,.. Vi beteckna 

 för den skull med s något helt positivt tal eller noll samt för- 

 länga identiteten (21) med 



e- ^R,(x) , 

 då vi erhålla 



(22) e-^f{x)Rs{x) = y ürB-^R (a;)R,{x) 



och således, om vi integrera mellan gränserna x = och a'=co^ 



00 '' = »_ CO 



(23) i e- ^f(x) Elx)clx =\ a^ i e- ^Rr{x)Rlx)dx . 

 o ?-=o o 



Om vi nu antaga, att s är lika med något af talen 

 O, 1, 2, 3, ...n, 

 så måste vid summationen i högra membrum r någon gång,^ 

 men blott en gång, blifva lika med s, och enligt teorem IV 

 erhålla vi då af eqv. (23) för O < s < ?i 



