184 BERGER, RATIONELA HELA FUNKTIONER. 



(47) 2 — = ««- 1 — n-a„ + ^ ^ «"+i > 



genom hvilkas lösning vi finna 



(48) a„_i==92-, ün = 2n + 1 , a„+i = 1 . 



Om dessa värden pä «»_!, a„, cin+i införas i eqv. (43), sa 

 erhålla vi för funktionerna Rn{^') rekursionsformeln 



(49) Rn+i{^) = (^' — '2n — l)R„(a') - n^Rn-i{cc) , 



och vi kunna alltså uppställa följande teorem: 



Teorem Yl. Om n är ett helt positivt tal eller noll, så är 

 identiskt 



Rn+,{.x) = (w — 2n- l)R„(/v) — nni,,_,{x) . 



Af den nu bevisade formeln kan man härleda en enkel 

 kedjebråksutveckling för qvoten 



Rn+\{os) 



Rni^') ' 



af rekursionsformeln följer nämligen 



(50) %# = .. - 2n 



Rn-\{0C) 



och om vi här ersätta n med n — 1, så finna vi 

 (51) #^=.--2n + l ^"-^>' 



Rn-\{,X) Rn -i{x) 



Rn - 2(^) 



och af eqv. (50) och (51) följer 

 (52) ^i*-!^> = ^-2«--l 



Rn-'2{a;) 



Genom upprepande af samma förfaringssätt erhålla vi, om 

 vi iakttaga, att 



