ÖPVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1899, N:0 3. 187 



För bestämningen af koefficienterna c^, c^, c^, Cg, ... ha 

 vi alltså de tre eqvationerna (56), (63) och (65), livilka kunna 

 förenas i följande två: 



(66) <?o = 1 ' ^'«+1 = (^ ~ 2" ~ 1)^« — n'^Gn_i 

 för w^O. 



Enligt eqv. (2) och teorem VI är 



(67) R,{.v) = 1 , En+iiä^) = (.r — 2n - l)R,lv) — n^/e,, _i(a-) 

 för 71 ^ O, och af eqv. (66) och (67) kunna vi sluta, att 



(68) c„ = Rn(a;) 



för n > 0. 



Införa vi nu det af eqv. (68) bestämda värdet på koeffici- 

 enten c„ i eqv. (55), så erhålla vi serieutvecklingen 



(69) _l_.lf-,= \^^M'! 



71 = 



hvarmed följande teorem är bevisadt. 



Teorem VII. Om a; är en godtycklig qvantitet, och t en 

 qvantitet, som uppfyller vilkoret 



Ml<i, 



så är 



Rn(^'c)t- 



Ir 



1 + t Z-^1- 2. 3...W 



n = ü 



Om vi i den nu bevisade formeln sätta t^ — |, så erhålles 

 serieutvecklingen 



(70) .- -^ = V ^~ y" . ^A(f)__ 



^ ^ Z^ 2"+i 1. 2. 3... 71 ' 



» = 



hvilken gäller för alla värden på x. 



Om vi i teorem VII sätta w = O, så finna vi 



^ ^ 1 + ^ 2^1. 2. 3 



En(0)tr' 



