190 BERGER, RATIONELA HELA FUNKTIONER. 



men enligt teorem VI är 



(85) RnU^) =={x — 2n — l)Rn{x) — n?R„ _ ^{x) , 



pch oni detta värde pä .Rn+i(x) införes i eqv. (84), så finna vi 



(86) ^^ =. R„{x) - 1 {R,{x) + nR, _ ,{x)) 

 och således, ora vi åter använda teorem VIII, 



(87) ?^^ = R,{a:)-R^{x). 



Genom integration i afseende pä x mellan gränserna O och 

 X följer häraf 



(88) ^"-^^^^^^ ~ f''-'^^'> =jR,{x)dx - {R,(x) - R^m 



o 

 och alltså, om vi använda formeln (73), 



X 



(89) ~^-^^= fR^{x)dx — Rr,{x). . 



o 



Af eqv. (87) och (89) erhålles följande teorem. 

 , Teorem IX. Om n är ett helt positivt tal eller noll, så är 



+ 

 och 



^j^i = R,{x)--Rn{w) 

 n + 1 



X 



^M^ I R^{x)dx - R^{x) . 

 n + 1 J ^ 



o 

 Om vi sätta den första formeln i teorem VIII under formen 



(90) xRnix) — n {Rn{x) + llRn - 1(^)} 



samt differentiera i afseende på x, så erhålles för w ^ O 



(91) xÉ'n{x) + R'„{x) = n {R'n{a;) + nR^ _ i(^)} . 



Om vi i den första formeln i teorem IX ersätta n med 

 n — 1, så få vi för ri ^ 1 



(92) Rn{cc) = n [Rn - 1(^) — Én - l(^)} . 



