ÖFVERSIGT AF K. VBTENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1899, N:0 3. 191 



Addera vi nu eqvationerna (91) och (92), sedan den sista 

 blifvit förlängd med /i, så erhålles för n >; 1 



(93) xÉnix) + Rn{x) = n-R„ _ i{x) , 



och om vi slutligen subtrahera eqv. (90) från eqv. (93), så 

 finna vi 



(94) xRnix) + (1 — x)Rn{x) + nR.ix) = o , 



hvilken relation gäller för n > 0. Af denna, likhet synes, att 

 diflferentialeqvationen 



(95) ..g + (l_.)| + „, = 



satisfieras af funktionen 



(96) y = Rn{^) . 



Enligt en känd metod finna vi då, att den generela lös- 

 ningen till diflferentialeqvationen (95) erhålles af formeln 



(97) y := cRn{x) + c^Rn{x)\ J^^^.. > 



der c och c, äro arbiträra konstanter. Emedan Rn{^) är en 

 rationel funktion af x, så kan integralen i högra membrum icke 

 vara rationel. För att det af eqv. (97) gifna värdet på y skall 

 vara en rationel funktion af x, fordras alltså och är äfven till- 

 räckligt, att Cj = O, och således måste hvarje rationel funktion 

 af X, som satisfierar dififerentialeqvationen (95) vara af formen 



(98) ^ y = cRn(x), 



hvarmed följande teorem är bevisadt. 



Teoreni X. Om n är ett helt positivt tal eller noll, så 

 satisfierar funktionen 



diflferentialeqvationen 



