192 BERaBR, RATIONELA HELA FUNKTIONER. 



och omvändt måste hvarje rationel funktion y af a-, som satis- 

 fierar denna differentialeqvation, vara af formen 



der c är en konstant. 



§ 3. 



Om n är ett helt positivt tal, så har enligt teorem I funk- 

 tionen Rn(x) alla sina n rötter positiva och sins emellan olika. 

 Om vi beteckna dessa rötter med 



så är identiskt 



(99) Rn{^-) = (■« X^){X X^ . . .{X Xr) , 



alldenstund koefficienten för x'^ i polynoraet Rn{x) är lika med 

 1. Emedan alla rötterna äro olika, så äro qvantiteterna 



l\^i\X^) , jXn\Xr^) , ... JAjiyXn) 



skilda från noll. Vidare är uttrycket 



Rn{^) 



X — Xi- 



en rationel hel funktion af x för A' = 1, 2, 3, . . . n, och om vi 

 definiera n qvantiteter 



A^ , A^ , A^ , ■ • • Aji 



medelst likheten 



(100) A^^-^X-f'^^'^d,. 



O 



för /«=], 2, 3, . . . n, så äro dessa qvantiteter ändliga och 

 reela. Om vi med f{x) beteckna en godtycklig rationel hel 

 funktion af x samt förlänga eqv. (100) med f{x/;), och om vi 

 sedan sätta k successive lika med 1, 2, 3, . . . n samt addera 

 de sålunda erhållna likheterna, så fä vi 



