194 BERGER, RATIONELA HELA FUNKTIONER. 



Af relationen (104) följer 



OO OO CO 



(105) fe- ^'Fix)dx = je- ^ Q{x)Rrix)dx + je- ^f{x)dx . 



o 



Den första integralen i högra membrum är tydligen noll 

 enligt teorem III, alldenstund funktionens Q{x) gradtal är mindre 

 än eller lika med n — 1, och emedan funktionens f(x) gradtal 

 är mindre än eller lika med n — 1, så kunna vi på den andra 

 integralen i högra membrum af eqv. (105) använda formeln (103). 

 Vi erhålla alltså af eqv. (105) 



CO A: = ?i 



(106) I e- -F{x)dx = V Akfix,) . 

 o x-=i 



Sätta vi i identiteten (104) 



(107) X = X, , 

 så få vi 



(108) F(x,)=f(x,), 

 och således följer af eqv. (106) 



(109) e-^F{x)dx=y A,F(x,), 



o >!:=1 



och härmed är följande teorem bevisadt. 



Teorem XI. Om F{x) är en rationel hel funktion af x, 

 hvars gradtal är mindre än eller lika med 2n — 1, så är 



00 k = n 



je--F(x)dx=y Ä,F(x,), 



o >t=i 



der A'j , .t'o, . . . x,i äro eqvationens 



E,(x) = O 

 samtliga n rötter, och der koefficienterna A^ äro gifna af formeln 



R.(.n-)J •'• — •'''■ 



O 



