396 VON KOCH, SYSTÉMES DIFF. d'oRDRE INFINI. 



Portant la serie (B) dans l'equation (A), on trouvera que 

 les Uy doivent satisfaire aux équations suivantes 



X + — m 



On se trouve donc amené, meine dans le cas oü cf{x , y) 

 est une fonction entiere rationnelle, å un Systeme d'une infinite 

 d'equations, contenant une infinite de fonctions inconnues et 

 leurs dérivées. 



La premiere question qui se pose ici, c'est la question 

 d'existence d'une Solution d'un tel Systeme. 



2. Soient 



ji{t 5 x^ 1 x^, . . ^ Xn) (i = 1 , 2 , . . . , n) 



des fonctions analytiques holomorphes pour 



V C/ ^ t^i lAj ■ tl/n tV ■ • ■ ■ w^ tv 



12 n 



et considérons le Systeme diflférentiel d'ordre n : 



—j- = ji{t 5 «z?! , x^ 1 . • 1 ^n) (* = 1 j 2 , . . n) . 



Le théoreme general de Cauchy nous apprend que ce Systeme 

 est satisfait par un Systeme unique de fonctions Xi prenant pour 

 t = t^ les valeurs initiales x^^ et développables selon les puissances 



positives de if — t^. 



Ce théoreme suhsiste-il si n croit au delä de toute limite? 



Pour préciser cette question, qui sera l'objet principal de 

 l'etude suivante, il faut définir ce qu'on doit entendre par une 

 fonction analytique d'une infinite de variables indépendantes. 



3. Soient 



•^1 » ^^2 > • • • • 



une infinite de variables complexes. J'appellerai puissance d'ordre 

 p = Vi + ... + v/i: par rapport aux Xi tout produit de la forme 



X ^ • X ^ . . . X 



les Hi étant des nombres distincts de la suite 1 , 2 , . . . . ad 



