ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1899, N:0 5. 397 



inf. et les Vi des nombres entiers positifs, Fixons un nombre p 

 et formons une serie multiple 



(p) y^ 



(fl) , M \y\- • -"k I 

 dans laquelle chaque puissance d'ordre p ne figure qu'une seule 

 fois au plus. 



Si cette serie converge absolument pour 



(C) a;^ = a^^ x^ = <i^,... 



il est evident qu'elle restera convergente tant que Ton a 



(D) I ^1 I < I «1 I , I ^2 I < I «2 h • • • 



Nous appellerons 9^ serie homogene d'ordre p par rapport 

 aux Xi. 



Soit (jpo une constante et formons une serie de la forme 



Ö> = % + qp, + qp2 + • • • • 



Nous appellerons CD shie de puissances par rapport aux xi 

 et nous dirons que cette serie converge absolument pour un 

 certain point {x-^ , x^. . ) si eile reste convergente méme si Ton 

 remplace, dans chacune des qpj , chaque terme par sa valeur 

 absolue. 



Il résulte de la que si converge absolument au point (C) 

 eile convergera absolument dans le domaine (D). 



Toute fonction des xx représentable par une serie de puis- 

 sance absolument convergente dans le domaine: 



I ^1 I < i^i , I ^2 I < ^2 ' 



sera appelée fonction analytique des Xi , holomorphe dans le 

 voisinage {R^ , R^. . .) du point x^ = O , x^=^0 , . . . 



A ces fonctions s'etendent sans difficulté plusieurs des théo- 

 rémes valables pour les fonctions de n variables complexes. Pour 

 ce qui suit, nous n'aurons besoin que des definitions précédentes 

 et de la remarque que voici. 



Soit W une fonction analytique des x a coefficients réels et 

 positifs. Si chaque coefficient de W est plus grand ou egal a la 



