402 VON KOCH. SYSTÉMES DIPP. d'ORDRE INFINI. 



dt 



«io-^o + y {c^i.vXy + ai._ya;_y) 



y=l 



(i =0 , +1,-1, + 2 , — 2 , . . . ad inf.). 



7. Exemple. La considération de l'equation aux dérivées 

 partielles citée plus haut: 



(20) ?/^ fl fi 1 "*" ^{^y)^ — (ou p designe un entier positif) 



va nous fournir un exemple de l'application des resultats précé- 

 dents. Nous supposons que (p{xy) soit une fonction holomorphe 

 de ^ et ?/ dans le voisinage de ä? = , ?/ = . 

 Nous pouvons donc écrire: 



+ w 



(21) ^{^y) = ^(pÅ^)r , 



las (p^(x) étant holomorphes dans un certain voisinage de x =0: 



(22) \x\<R. 



Supposons que la serie (21), pour toute valeur de x du domaine 

 (22), converge absolument dans le cercle: 



(23) \y\<s. 



Ceci pose, demandons-nous si l'equation (20) admet une inte- 

 grale uniforme dans le voisinage de a; = , ?/ = . 

 Posons 



(24) u=^ u,y- 



V = CO 



et portons cette serie dans l'equation (20); nous trouvons que 

 les coefficients u^ doivent vérifier le Systeme suivant d'equations 

 dififérentielles: 



dv ^" 



(25) <^-l)1^' + 2 ^-2 + .-A^^2 = 



1 = — oo 



oü V prend successivement toutes les valeurs entieres positives et 

 negatives. 



