404 VON KOCH, SYSTÉMBS DIFF. d'ORDRE INFINI. 



\a,\<Ks^',\ß,\<Ks- (v + 0,1) 



d'oü: 



gV — i 



ff étant un nombre positif. Prenant un nombre ff < s et posant 



ffs-i 



Si = ..._-. j Ay = s'" (i, V =2, d . . .) 



^'=i(iZ^y ^.^a" («, v = -l, -2,...) 

 on voit que 



et que la serie ^SiAi converge d'oü résulte que le théoreme dont 

 il s'agit est applicable. Désignons douc par 



(30) u\ (z = - 1 , ± 2 , ± 3 , . . . .) 

 une suite de constantes teile que la serie 



converge absolument pour < s < >S ; il existe un Systeme et 

 un seul de fonctions 



(31) Ui {i=-l, ±2, ±3, ...) 



satisfaisant aux équations (28), prenant pour a; = les valeurs 

 initiales (30) et holomorphes tant que | a- | < r. 



Les fonctions (31) étant ainsi définies nous définirons Uq et 

 Mj par les formules (27) et nous désignerons pas u^ et u^ les 

 valeurs que prennent Uq et Wj pour a; = . 



Formons maintenant la serie 



+ 00 



(32) <^y) = 2 """^''^ 



y = — 00 



pour en trouver le domaine de convergence, remarquons que l'on 

 a, en vertu des formules etablies plus haut (16, 17): 



|Mi|< |wj| + As-'; \u_i\<\u'_.\ + Aa' 

 pour I <2^ I < y' . 



