ÖPVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1899, N:0 5. 405 



A désignant une constante et / un nombre positif quelconque 

 inférieur a r. 



On en conclut que la serie (32) converge absolument tant que 



(33) |^|<r, 0<|i/|<Ä. 



La fonction u{xy) ainsi obtenue est donc une integrale de 

 réquation (20), holomorphe dans le domaine (33). 

 Dans le cas ou la fonction: 



reste difFérente de zéro tant que | ^ | < i?, on voit que le do- 

 maine (33) coincide, sauf pour ?/ — O, avec le domaine (22, 23) 

 dans lequel la fonction (fixy) est définie. Donc, dans ce cas, 

 Tintégrale u{xy) est définie dans le méme domaine que qixy) et 

 admet, comme fonction de ?/, le point y = comrae point siu- 

 gulier essentiel isolé. 



8. Par la méme méthode, on pourra traiter des questions 

 telles que la suivante: existe-t-il une integrale de Téquation 

 (20) qui se multiplie par une constante donnée w quand la 

 variable y tourne autour du point y = O? 



Posons en eflFet w = é^^*? et mettons: 



+ 00 I 



(34) u = i/^^ ^^.y"; 



v = 00 



pour que cette serie satisfasse a Téquation (20) il faut que q 

 et les Uy satisfassent aux équations suivantes: 



du ■^°° 

 (35) (e + ^)(? + »'— 1)^ + 2 (Pr-'2+p-lUi^0 



X = 00 



(v = — CO , . . + oo) . 



Si Q n'est egal å aucun eutier (positif, nul ou négatif), ce 

 que nous supposerons, nous pourrons écrire ce systéme (35) sous 

 la forme 



^^. + " 

 (35') -j-^ = 'S aiyUy (i === — oo . , , + e«) 



v = — QO 



ou 



