406 VON KOCH, SYSTÉMES DIPF. d'oRDRE INPINI. 



Ici nous aurons (pour \x\^r <^R)\ 



ou bien 



les Äj et les A-y étant définis corame précédemment. 

 Doiic, 



?f. (^2 = — CO . . . + coj 



désignant des constantes telles que la serie ^i u. y^ converge ab- 

 solument pour < |?/| < S, il existe une Solution 



Wi (^ = CO , . . + co) 



du Systeme (35), holomorphe tant que j .-c | < i2 ; en raisonnant 

 corame plus haut, on voit que la serie 



+ 00 



V = 00 



converge pour | a- j < jR, < | ?/ 1 < aS; donc, pour tout ce domaine, 

 la serie 



+ 00 



V = — 00 



définit une integrale de l'equation (20). Cette integrale contient 

 une constante arbitraire q et se réduit, pour x^^O, å une fonc- 

 tion arbitraire de y de la forme 



y^L{y) 

 L{if) désignant une serie de Laurent. ') 



') On demandera peut-etre pourquoi nous avons choisi l'equation (20) au lieu 

 d'une équution du premier ou du second ordre pour illustrer la méttode dont 

 il s'agit. La raison, c'est que les systemes d'ordre infini auxquels on est 

 conduit en étudiant les équations aux dérivées partielles des deux premiers 

 ordres n'appartiennent pas au type étudié plus haut. Quant aux systemes 

 résultant des équations du second ordre, il y en a une classe assez étendue 

 qui peut étre traitée par une autre méthode, fondée sur la théorie des déter- 

 minant infinis. Voir, sur ce sujet, une note précédente. [Comptes rendus de 

 TAcadémie des Sciences de Paris (1895); comptes rendus de TAcadémie de 

 Stockholm (13 novembre 1895)]. 



