408 VON KOCH, SYSTÉMES DIFF. d'ORDRB INFINI. 



Je dis que le Systeme (36) admet iine Solution holomorphe 

 (et une seule) 



(42) a;^, ,v^ , ... 

 satisfaisant aux conditions initiales 



(43) a?j = x^^ , A'o = .3?2 ' • • • (pour ^ = 0) . 

 En efFet, prenons comme Systeme de comparaison le suivant: 



(AA\ ^ ^ ^ 



^ ^ dt (1 - 0(1 - ^^^*) 



et posons 



|^J| = ^; (^•^l, 2, ..., +co). 



De ce Systeme (44) on tire 



l(l:-|,) = (-2,3,..., +.0). 



Donc, si nous supposons que les ^j satisfassent aux conditions 

 initiales suivantes: 



(45) ?i = ^J . ^2 == g , . . . (pour t = 0) 

 nous aurons 



(46) ^,_^o = |(^,_^;) (^•^2, 3, ...+ co) . 



Portant ces valeurs dans la prämiere des équations (44) on 

 trouve 



(A7\ ^_ ^ ^_ 



^ ^ dt l-.M-N,{^r-§l) l-t 



oü 



+ 00 



+ 00 1+00 



7. 1 ^ 7. _ -I 



M 



k=i 



Cette éqaation (47) montre, non seuleraent que ^, est holo- 

 morphe par rapport a t mais aussi par rapport aux valeurs 

 initiales §^(i = 1,2,..., + co); d'apres la formule (46), il en 

 est de méme des autres ^i(i = 2, 3, ..., + oo). 



