ÖPVERSIGT AP K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1899, N:0 5. 409 

 Nous pouvons donc écrire la Solution de (44) sous la forme: 



s^. = ^;^ + p.(^;^^g, ...) 



les Fi désignant des series entiéres par rapport å i et aux ^. , 

 s'annulant pour f = O et convergentes tant que Ton a 



(47') \t\<r'; -.g<i 



T' désignant une constante facile ä calculer; de plus, tous les 

 coefficients figurant dans ces Pj, sont des nombres positifs. 



Retournons maintenant au Systeme (36). On voit immé- 

 diatement qu'il existe formellement une Solution (et une seule) 

 du Systeme (36), prenant les valeurs initiales (43); cette Solu- 

 tion a la forme 



(48) Xi = x^. + pi(t ; x\, xl, .. .) 



les pi étant développées selon les puissances de t] x^ , -^2 • • ■ ^^ 

 s'annulant pour t = 0. Les coefficients figurant das ces i^i sont 

 des polynomes rationnelles, å coefficients positifs, par rapport aux 

 coefficients figurant dans les F^. De la on conclut que cliaque 

 coefficient de pi est inférieur en valeur absolue au coefficient 

 correspondant de Pj. Donc la Solution Xi (i ^ 1, 2, . . . + co) 

 existe et son développement (48) converge absolument tant que 

 Von a 



(49) \t\<T", -,|^;.|<i. 



10. La formule (46) montre que Ton a entré les P, les 



relations 



c 



Pi ^^ p 

 i — Q -'•1 • 



II en résulte que, pour tout le domaire (47'), 



(50) ^,-^^<K.S, (« = 1, 2, ... + co) 



K désignant une constante positive. 



Donc nous aurons, pour la Solution Xi du Systeme (36), les 

 inégalités suivantes 



Öfvers. af K. Vet.-Akad. Förh. 1899. Arg. 56. N:o 5. 2 



