410 VON KOCH, SYSTÉMES DIFF. d'ORDRE INFINI. 



(51) \xi-a;'.\<KS, (z = l, 2, ... + co) 



valables tant que t et les w^. sont assujettis aux conditions (49). 

 11. Pour avoir une application simple du resultat précé- 

 dent, nous prendrons l'equation suivaute 



3 u ölt 



oü cp{x, y) est holomorphe en x et uniforme en y dans un voi- 

 sinage de ^ == 0, y = et ou ^:» est un entier positif. 

 Soit 



(53) (p{^.y) = ^(pvr 



le développement de cp selon les puissances de y. Ce développe- 

 ment converge absolument tant que l'on a 



(54) \x\<R, S' <\y\<S. 



Nous pouvons toujours supposer i? > 1, 5 > 1 > ä'; il en 

 resulte que 



K 



(55) f^^YZr:^ (. = 0, 1, ... + CO) 



K désignant une constante positive. 



Cela pose, demandons-nous si l'equation (52) admet une 

 integrale uniforme dans le voisinage de .?; = 0, ?/ = 0. 



Posons 



+ 1» 



(56) ^ = 2 ''"^''' 



nous trouverons: 



du / 



(57) [y{v — 1) + 1] -^ + ^2^^^y _ 2 + ^ - >i w;i - o M^ = 



iy = — CO . . . + 00) 



les indices de sommation 1 et q parcourant toute la serie des 

 nombres entiers positifs et négatifs. 



Comme le coefficient \y{i' — 1) + 1] ne s'annule pour aucun 

 nombre entier, nous pouvons mettre ce Systeme (57) sons la forme 



