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ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1899, N:0 7. 701 



La condition nécessaire et sujjisante pour que les courbes 

 integi'ciles du Systeme (1) possedent un axe de Symmetrie, c est 

 (pie les relations suivantes auront lieu 



B + B'=0, AC—A'C'=0, C^-D' + C'-B^O (.4=j=0, C=t=0) 



B+B'=0, CW + C'W=0 {Ä^O, C=\=0) 



B + B'=0, .r-D + A"W=^0 (.44=0, C=0) 



B+B'==0, (.4=0, C-0). 



Bans ce cas Vorigine sera donc un centre. 



Appliquons maintenant au Systeme (3) la méthode de M. 

 PoiNCARÉ, selon laquelle il faut chercher a satisfaire a l'equatioii 

 aux dérivées partielies 



dF dF 



en prenant pour F une serie ordonnée suivant les puissances 

 croissantes de x et y. Eli mettant alors 



CO 



F-^^Fy (10 a) 



oii Fy sont des polynouies homogenes de degré v, on voit aisé- 

 nient que le développement de F ne peut pas contenir des termes 

 Fy dont l'indice soit un nombre irapair. De Téquation (10) 

 nous tirons la formule suivante, å l'aide de laquelle les poly- 

 nomes Fy se calculent successivement 



\'^ dy dx I ^ dx ^ dy ' 



De lä il suit que le polynome du moindre degré doit étre une 

 puissance de xy, et cette condition sera remplie de la maniére 

 la plus simple en prenant 



F^_ = xy . 



Ceci pose, nous voulons chercher les conditions pour qu'il soit 

 possible de déterminer tous les polynomes Fy. A cet effet nous 

 al lons faire un changement de variables. Mettons d'abord 



