ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1899, N:0 7. 713 



dont IMntégrale est donriée par la formule (38). En y mettant 

 la constante k sous la forme s — |- , IMntégrale pourra s'ecrire 



^^2iSv{^)-e'' = (p{6) (42) 



pourvu que la valeur numérique de e soit suffisamment petite. 

 Quant aux coefficients By, ils sont des fonctions rationnelles de 

 sin 6 dont les deux premiers seront 



B,=j] B^=~cos'-6(l + sin^ö). 



Cherchons maintenant a satisfaire å Téquation (39) par une 

 serie de la forme 



1 = q) + q)^(.i + cp^^i"- + . . . (43) 



Posons pour abréger 



On verra alors que la fonction (pi{6) doit satisfaire a Téquation 

 différentielle linéaire 



dep. 



de 



= f(SP^ ö).(jPi +/((jp, B). (44) 



En supposant que les relations (32) soient des conditions 

 süffisantes pour l'existence d'un centre, il faut que, pour des 

 valeurs suffisamment petites de £ , L soit une fonction périodique 

 de 6 avec la période 27r quelle que soit la valeur de fj- , ce qui 

 revient ä dire que toutes les fonctions (fy doivent étre périodiques. 

 La fonction cp étant périodique, /(rp , e) et f(cp , 6») le seront 

 aussi, d'ailleurs qpj sera donnée par la formule 



de sorte qu'il faut en premier lieu démontrer la périodicité de 



jf{(p , 0)ds , ce qui n'ofFre aucune difficulté. Nous avons en effet 



