714 WIGERT, SÜR LES POINTS SINGULIBRS DES EQÜATIONS DIFFÉR. 



et de plus 



1 



A/r ft iw = '■AI ij . — - 



dl 



fa, ^)-=in^^ ^, 0) = 2t/„c 



FoC-1 (FoC-1)^ 



ce qui noas donne 



/(O, ^)==0;^(^)^.^^ = -2(r + l)C^,F/-i (. = 1, 2, 3...) 



En ayant égard å la valeur de U^ on voit donc que les coeffi- 

 cients des puissances de e dans le développement de f(q) , 6) 

 seront des fonctions rationnelles de sin d multipliées par cos ß . 

 Par conséquence la fonction jf((p , 6)dd est une fonction périodi- 

 que dont le développement suivant les puissances de £ commen- 

 cera par le terme 



— -5- sin* e • e. 

 o 



Ceci pose, il faudrait décider si Tintégrale du produit des 

 deux fonctions périodiques 



est aussi une fonction périodique ou non, recherche qui présente 

 des difficultés considérables dont la nature arithmétique a été 

 mise en évidence par les travaux de M. Bendixson. ^) Cepen- 

 dant, la fonction 



je -ß^f ' ^^-^^ • Jicp , 6)de 



étant représentée par une serie procédant suivant les puissances 

 de £ , il faut que les coefficients de cette serie soient des fonc- 

 tions périodiques de ö . Il sera donc d'interet de voir si cela 

 est vrai du moins pour les deux premiers coefficients. Nous 

 avons en efFet 



1) Öfversigt af K. Vet. Akad. Förh. 11 Mars 1896. 



