874 PETRINI, l'eQUATION de POISSON z/F= — iTtQ. 



(4) JV- 1-" V ■ ± r ^^(-^ + h, y, z) d V{a;, y, z) 



h = 

 1 = 



2^h 



dx 



dic 



en supposant que les rapports des incréments h k l ne tendent 

 Jamals vers zéro ou Vinßni. 



§ 2. Décrivons autours du point {x , y , z) une sphere de 

 rayon a qui se trouve toute entiére dans le doraaine S. Soit 



(5) V=V, + V, 



F, se rapportant a cette sphére et V^ au domaine extérieure. 

 Nous savons qu'on aura 



(6) JV^^O. 



Il nous reste å trouver ce que devient JV^. A cet efFet 

 formons la fonction 



1 



dV^{a; + h, y , z) dV^(x , y , z)' 



^'^^ "^ " " '- dx dx 



h étant une quantité tres petite. Décrivons autours du centre 



(x, y, z) une autre sphére de rayon b de mauiére que 



(8) a>b>\h\. 



Nous voulons déterminer, dans la suite, les grandeurs de b 

 et de h d'une maniére plus precise. Posons 



(9) q)^^ q)' + cp" 



q)' se rapportant au volume de cette sphére et cf" a l'espace 

 qui se trouve entré les deux surfaces sphériques. 



§ 3. La fonction q'. A cause de Tinégalité (8) le point 

 (x + h, y, z) se trouve å Tintérieure de la sphére (b). Soient 

 (^, 71, Q les coordonnées de Télément dr et formons les coordon- 

 nées polaires d'une part par rapport au point xyz et d'autre 

 part par rapport au point (.2? + h, y, z). En posant 



^ = X + r cos ^ — X + h + Q'' cos -5-' 

 71= y + ?' sin ^ cos ip = y + r' sin d-' cos ip 

 n 0) ^ ^ = s + r sin i9' sin T = 2: + r' sin ^' sin ip 



dz = r"^ sin d-dd'd^pdr = r'- sin 3-' dd'' dip' dr' 

 r = ]/6"- — /i2 sin2 ^' — h cos 3' , 



