880 WIMAN, DIB IDEALE IN EINEM ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPER. 



Ein jedes Ideal j lässt sich auf eine und nur auf eine 

 Weise als Product von Primidealen darstellen. 



Hieraus folgt, dass jedes Primideal in einem und nur einem 

 Hauptideal (p) aufgehen muss, wo p eine rationale Primzahl 

 bedeutet. Man spricht auch kurz von der Theilbarkeit einer 

 Zahl durch ein Ideal. 



Die Anzahl aller nach einem Ideal j einander incongruenten 

 ganzen Zahlen des Körpers heisst die Norm n(j) des Ideals, 

 Die Norm des Productes zweier Ideale ist gleich dem Producte 

 ihrer Normen. Ist a eine rationale ganze Zahl und n der Grad 

 des Körpers, so ergiebt sich a" als Norm des Hauptideals (a). 

 Bezeichnet p die durch das Primideal ■rv theilbare rationale Prim- 

 zahl, so ist n{rc) = pf^ wo f'^n. Der Exponent / heisst der 

 Grad des Primideals 7t. 



Bedeuten tTj, tt,, ...ite die verschiedenen in einem Ideale 

 j aufgehenden Primideale, so ist die Anzahl der nach j einander 

 incongruenten ganzen Zahlen, welche prim zu j sind, 



(1) ^i)=Ki)(i-„-(^))(i-;^y...(i-„-(^ 



Ist eine ganze Zahl w prim zu f so muss dies auch von 

 ihren Potenzen gelten. Ist nun jede ganze zu j prime Zahl des 

 Körpers einer Potenz von w nach j congruent, so heisst w eine 

 Primitivzahl nach dem Ideal j. Es müssen dann je q){j) auf 

 einander folgende Potenzen von co einander incongruent nach j 

 ausfallen. Damit also die Congruenz co<^ ^ 1 (mod j) bestehe, 

 muss nothwendig ^^(p{j)- Wir wollen hier alle Ideale des 

 Körpers aufsuchen, nach denen Primitivzahlen existiren. Diese 

 Frage ist, wenn k den Körper der rationalen Zahlen nicht be- 

 zeichnet, bisher nur für die Primideale beantwortet. ^) 



^) Wegen der von Dedekind eingeführten Idealtheorie sowie auch wegen der 

 verwandten Theorieeu anderer Forscher vergleiche man: Dirichlet-Dedekind, 

 Vorlesungen über Zahlentheorie (4. Aufl. 1894), Suppl. XI; D. Hii,bert, 

 Theorie der algebraischen Zahlkörper (Bericht der Deutschen Mathematiker- 

 Vereinigung 1897); H. Weber, Lehrbuch der Algebra II (2. Aufl. 1899), 

 Buch IV. 



