ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1899, NIO 9. 881 



2. Die cp{j) zu j primen Restclassen componiren sich durch 

 Multiplication nach einer commutativen endlichen Gruppe vom 

 Grade cf.{j). Hieraus folgt, dass jede zu _;' prime Zahl der Con- 

 gruenz 



(2) w7'0)^l(mod;) 



genügen muss. Falls j ein Primideal 7t vom Grade / ist, welches 

 in der rationalen Primzahl p aufgeht, nimmt (2) die Gestalt 



(3) w^-^-i = l(mod7r). 



Eine Congruenz vom Grade m nach einem Primideal kann 

 nun höchstens m Wurzeln besitzen; denn nach der Zerlegung 

 der Congruenz in Factoren kann jeder lineare Factor sich nur 

 an einer Lösung betheiligen. Die p^ — 1 Wurzeln von (3) kön- 

 nen demnach nicht sämmtlich eine niedrigere Congruenz befriedi- 

 gen. Es folgt nun leicht, dass zu jedem Theiler d von p-^ — 1 (f{d) 

 Wurzeln von (3) gehören, welche der Congruenz w^ = 1 (mod ti:) 

 und keiner niedrigeren Congruenz w'^i = 1 (raod tt) genügen; hier 

 bedeutet (p{d), wie gewöhnlich, die Anzahl der zu 6 primen 

 ganzen rationalen Zahlen, welche kleiner als d sind. Die (f{p-^ — 1) 

 Wurzeln, welche in solcher Weise zum Exponenten p/ — 1 ge- 

 hören, liefern Primitivzahlen nach tt. 



Nach jedem Primideal tt gieht es also Pt'imitiv zahlen. *) 

 3. Es giebt immer Primitivzahlen nach tt, für welche die 

 Congruenz (3) mod tt^ nicht stattfindet. Wäre nämlich 



fo'p^-i=l(niod7r2), 



so könnte man to' durch w = w' + Wj ersetzen, wo Wj eine 

 durch 7t aber nicht durch 7t^ theilbare ganze Zahl bedeutet. 

 Man erhält dann 



WO a»2 durch 7t- theilbar ist, also 



(3') coP^-'^^l{mod7t''). 



^) Wegen der Herleitung dieses von Dedekind gegebenen Satzes vergleiche man 

 etwa H. Weber, Algebra II, p. 615. 



