882 WIMAN, DIE IDEALE IN EINEM ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPER. 



Wir suchen jetzt den niedrigsten Werth von k^ für welchen 

 die Congruenz 



tj,A( ;./-!) =1 (mod/r-) 



gilt. Aus den Entwicklungen 



(4) w^^-i = 1 + ^ ; {l + Qf = 1 ^ kq + G , 



wo Q bez. G durch rt bez. tc- theilbare ganze Zahlen bedeuten, 

 folgt unmittelbar, dass dieser Werth gleich p sein muss. Man 

 schliesst hieraus, dass jede zu 7t prime ganze Zahl der Congruenz 



(5) ü}P^P^-^^=l{moan:-) 



genügen muss. Aus (5) folgt, dass es Primitivzahlen nach tt- 

 nur dann geben kann, falls / = 1. In diesem Falle ist aber 

 jede Primitivzahl nach tt, welche die Bedingung (3') erfüllt, 

 auch eine Primitivzahl nach rt-. Es gilt mithin der Satz: 



Nach dem Quadrate tc^ eines jeden Primideales ersten Gra- 

 des gieht es stets Primitivzahlen; dagegen existiren keine Primitiv- 

 zahlen nach den Quadraten von Primidealen höheren Grades. 



4. Jede zu einem Primideale jt vom Grade / prime ganze 

 Zahl genügt der Congruenz 



(6) wP" ~ ^^P^ - 1) = 1 (mod TT«) . 



Die Gültigkeit dieses Satzes für n = 1 und 7i = 2 erkennen wir 

 aus (3) und (5). Hieraus beweist man leicht vermittelst eines 

 einfachen Inductionsschlusses die allgemeine Formel (6). Sei 

 nämlich 



wo Qn — 1 durch tt« theilbar ist. Dann folgt 



Man ersieht sofort, dass in (7) alle Glieder rechts durch 7r"+^ 

 theilbar sind. 



Aus (6) folgt nun ganz allgemein, dass nach einer höheren 



Potenz eines Primideaies, falls ihr Grad />!, keine Primitiv- 



