ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1899, N:0 9. 883 



zahl auftreten kann. Wie in der vorigen Nummer für n = 1 

 beweist man aber auch, dass eine Primitivzahl nach 7t^, welche 

 der Congruenz (6) mod 71"+^ nicht genügt, auch eine Primitivzahl 

 nach 7r"+i darstellen muss. Eine solche Zahl w wäre nun auch 

 eine Primitivzahl nach 7r"+2^ falls 



(8) w^-'^O^-De^I (mod 7^+2). 



Aus (7) können wir entnehmen, in welchen Fällen die letztere 

 Bedingung erfüllt wird. 



Sei nämlich erstens p eine ungerade Primzahl. Dann sind 



On — i und \^ q'^h-i ^^^' *^^^'cl^ ^^" ^^"^ 7r2"+i, also jeden- 



falls auch durch 7r"+2^ theilbar; das noch übrige Glied pQn — i 

 ist durch 7r''+* theilbar, falls fi^ aber keine höhere Potenz von 

 TT in jj aufgeht. Für die Bedingung (8) ist also nur erforderlich, 

 dass i = 1. 



Nach jede?' Potenz eines P7%inideales ersten Grades 7t, 

 ivelches in der Norm p nur einmal aufgellt, existi7'en demnach, 

 falls p eine iingerade Primzahl ist, immer Primitivzahlen; ist 

 aber die ungerade Primzahl p durch eine höhere Potenz von it 

 theilbar, so giebt es zwar Primitivzahlen nach tt-, dagegen keine 

 Primitivzahlen nach den höheren Potenzen von it. ^) 



Etwas anders verhält sich die Sache, falls das Primideal 

 ersten Grades n in der rationalen Primzahl 2 aufgeht. Nach 

 (1) giebt es hier nur eine zu n prime Restclasse. Hieraus folgt, 

 dass es auch mod jt- nur eine durch n aber nicht durch tt- 

 theilbare Zahl ^ giebt. Nun ist offenbar w = 1 + ^ eine Pri- 

 mitivzahl nach TT-. Damit diese Zahl auch eine Primitivzahl 

 nach TT"* sei, muss nach (8) 



(9) w2 - 1 = ^(2 + ^) E^ (mod 71^) . 



Ist nun erstens 2 durch 7t^ nicht theilbar, so sind 2 und q 



mod TT- einander congruent, also 2 + p = 4 = (mod 77;-). Da 



also q und 2 + ^ bez. durch -n und Jt^ theilbar sind, so ist in 



^) Nach einem Satze von Dedekinu (Abb. d. K. Ges. der Wiss. zu Göttingen 

 1882) ist die rationale Primzahl /) dann und nur dann durcli das Quadrat 

 eines Priniidcales theilbar, weun p in der Discriminaute des Körpers aufgeht. 



