884 WIMAN, DIE IDEALB IN EINEM ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPER. 



diesem Falle die Bedingung (9) nicht befriedigt. "Wenn aber 

 zweitens 2 durch ti^ theilbar ist, so ist offenbar auch 2 + ^ nur 

 durch 7t theilbar; also geht in diesem Falle ti^ nicht in ^(2 + ^) 

 auf. Es gilt mithin der Satz: 



Nach der dritten Potenz jt^ eines Primideales ersten Grades^ 

 welches in der rationalen Primzahl 2 aufgeht, giebt es dann und 

 nur dann Primitiv zahlen, falls 2 auch durch rc^ theilbar ist. 



Primitivzahlen nach der vierten oder einer noch höheren 

 Potenz eines Primideales ersten Grades tc, welches in 2 aufgeht, 

 giebt es in keinem Falle. Ist nämlich für einen Werth von n^l 



(10) w^'^-^— 1 = e«-i = 0(mod7r"+i), 



so folgt daraus 



C(^2»_i ^ 2^^_i + ^^_j = 0(med7r«+2). 



Geht nun tt in 2 nur einmal auf, so gilt nach den obigen Ent- 

 wicklungen (10) schon für w = 2. Ist 2 durch tt^ theilbar, so 

 gilt (10) zwar nicht für n = 2, aber für ?z = 3, denn aus 

 oß' — 1 = ^1, wo q^ durch tt- theilbar ist, folgt w^^ — l = 2^i + ^^, 

 wo TT* sowohl in 2^, als q^ aufgeht. Man findet also in den 

 in Rede stehenden Fällen keine Zahlen, welche der Bedingung 

 (8) genügen. ^) 



5. Es bleibt noch übrig zu entscheiden, ob auch nach sol- 

 chen Idealen Primitivzahlen existiren können, in denen mehrere 

 Primideale als Factoren auftreten. Sei 7 = 7t\^TC^^ ...7t^ ein 

 Ideal, wo tt^, jt^, . . . Ttg lauter verschiedene Primideale be- 

 zeichnen. Eine etwaige Primitivzahl nach j darf nun keiner 

 Congruenz 



w^ = 1 (mod j) 



^) Wenn das Primideal ersten Grades tt in der bezüglichen Norm p nur einmal 

 aufgeht, bilden in der That die rationalen Zahlen 0, 1, 2, . . . pn — 1 ein 

 volles ßestsystem in Bezug auf tt«. Daraus ist ersichtlich, dass in diesem 

 Palle eine Primitivzahl im Körper der rationalen Zahlen nach pn auch eine 

 Primitivzahl nach nn darstellt. Man könnte also hier unmittelbar die be- 

 kannten Resultate über die Primitivzahlen nach ;j'* übertragen; zu dem Ende 

 vergl. man: Dirichlet-Dedekind, Zahlentheorie, Suppl. V; Weber, Algebra 

 II, p. 60. 



