ÖPVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1899, N:0 9. 885 



genügen, wo Ä; < cp{j), wenn <fi(j) durch die Formel (1) gegeben 

 ist. Anderseits leuchtet ein, dass, falls «, , a^, ... «g die nie- 

 drigsten Zahlen solcher Art sind, dass jede zu j prime Zahl co 

 die Cougruenzen 

 w«i = 1 (mod ttJ') ; w«2 = 1 (mod Ttl"") . . . co"' eee 1 (mod tt"« ) 



befriedigt, und l das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von 

 «j, «2 5 • ■ . de bezeichnet, jede solche Zahl auch der Congruenz 



to' = 1 (raody) 

 genügt; dagegen befriedigen die fraglichen Zahlen nicht alle 

 eine Congruenz w^i=(mody), wo l^ <i l. Weil <jp(y) = g)(7r"') • 

 ^(jT^O • • • ^(^"0' ^^Ig^ hieraus als Bedingung für Primitiv- 

 zahlen nach j, dass 



und dass keine zwei von den Zahlen (^(tt'^''), ^(tt^'v? • • • 9^(^"^) 

 einen gemeinschaftlichen Theiler enthalten dürfen. Nach jedem 

 der Ideale tt"', 7r"^ . . . tt"* müssen demnach Primitivzahlen 

 existiren; auch kann es unter ihnen höchstens ein Ideal geben, 

 welches kein in der rationalen Primzahl 2 aufgehendes Prim- 

 ideal darstellt. 



Wir haben also das Resultat erhalten, dass die einzigen 

 Ideale, nach denen Primitivzahlen existiren, die folgenden sind: 



1) Alle Primideale; 



2) Alle Quadrate von Primidealen ersten Grades; 



3) Alle höheren Potenzen von solchen Primidealen ersten 

 Grades 7t, welche bez. die Bedingung erfüllen, dass die Norm 

 von TC eine durch 7t^ nicht theilbare ungerade Primzahl darstellt; 



4) Die dritten Potenzen aller solchen Primideale ersten 

 Grades, deren Quadrate in der rationalen Zahl 2 aufgehen; 



5) Gewisse zusamme^igesetzte Ideale, deren Factoren aus 

 lauter verschiedenen in der Zahl 2 aufgehenden Primidealen 

 bestehen, zu denen noch ein einzelnes von den anderen unter 

 1 — 4 aufgezählten Idealen als Factor hiiizutreten kann. 



Öfvers. af K. Vet.-Akad. Förh. 1899. Arg. 56. N:o 9. 



