936 FREDHOLM, SUR ÜNE ÉQUATION ETC. 



Le calcul effectif de u m'ayant paru inabordable si n > 4,. 

 j'ai cru qu'il ne serait pas sans intérét d'avoir Texpression al- 

 gébrique de u dans le cas particulier 71 ^ 4. 



Ecrivons pour ce but l'expression de ['integrale de la ma- 

 niere suivante 



— c» CJO 



et faisons la remarque que le second inembre est un invariant 

 simultane des deux fornies binaires dont le quotient figure sous 

 le signe som me. Il est facile de voir que cette propriété sub- 

 siste encore dans le cas ou le contour d'integration est une courbe 

 de forme quelconque. 



De plus il est evident que u, considéré comme fonction des 

 racines de Téquation 



est une fonction å six valeurs, deux å deux égales et de signes 

 contraires, parce que la somme des résidus de Tintégrale con- 

 sidérée est égale å zéro. 



Désignons les racines de / par s^, s^, s^, s^ et supposons 

 que s, , «2 soient celles dont les parties imaginaires sont posi- 

 tives. En effectuant Tintégration dans la formule (1) on trouve 

 l'expression de u 



__ 6r(g, , s^ , ^3 , ^4) 



y'oih — «3) («1 — h) («2 — «3) («2 — h) 



ou G est un polynöme. 



Soient maintenant j? et q les deux invariants de la forme 

 /, c'est-ä-dire 



q-fl+ f\h + /3/0 - 2/1/2/3 -/0/2/4 , 



et définissons L. par Téquation résolvante bien connue 

 (2) i;^-2yC + 2q = 0. 



