938 FREDHOLM, SUR UNE ÉQUATION ETC. 



port aux coefficients ip sont de deuxiéme degrée ont les valeurs 



suivantes 



I) = ipoip^ — ipl 



B = V^l{fJ,-f^ - H'oV^.ifJ, -A/s) + 



+ KV^o¥^2 + 2t/^D (/oA + 2/1/3 - 3/^) 



- ^H^^v^.{fJ,-fJ.) + n^l (/0/2 -/') •' 



Ces invariants sont les seuls qui par rapport aux \1> soient 



du second degré. Par conséquent les coefficients i, M, N sont 

 de la forme 



L = aD , M^bA, N=cB + d -jyl) 



ou les coefficients a, b, c, cl sont des nombres abstraits. Nous 

 les déterminons en comparant l'expression (3) avec l'expression 

 de u directement calculée dans le cas particulier ou 



- / = s* + 6ms2 + 1 . 



Dans ce cas on a 



p = 1 + 3??i- , q = m{m' — 1) , 

 A = ^jI + yji-^ 2w(j/vV^. + 2//;;) , 



B = jn(i/r- + i/r) + (1 - m"-) {ip^xp^ + 2«/;;) . 



L'equation déterminant L devient 



^3 __ (1 + 3,^2)^' + 2m(m2 _ i) 

 = (C + 2r?z) (C — m -f 1) (C — m — 1) = O 



dont la plus grande racine positive est égale a m + 1. D'autre 

 cöté un calcul tres simple nous donne le resultat 



+ «= 



2^J 5* + 6ms'^ + 1 2^(2 + 6???) 



— 00 



Cette expression devant étre identique ä 



yu- + Ml +'7v 



