142 BENDIXSON, SUR LE DÉVELOPPEMENT DES INTEGRALES ETC. 



de n points dans un plan, ces n points sont d'un méme cöté 

 d'une certaine droite passant par l'origine. 



Hypothese HI. i) 



On n'a pas de relation 



Xj étant l'une quelconque des racines de Téquation (2), et m^ , 

 7^3 , . . . , nin des entiers positifs dont la soninie est plus grande 

 que 1. 



Pour les integrales du systéme (1) il y donne les développe- 

 ments suivants 



oii /Tj , /^o , . . . , Kn sont 77 constantes dMntégration et 7", , 

 7*0 , . • • , Tn sont des series ordonnées suivant les puissances 

 entieres positives de a-j , x^, ..., Xn, convergentes au voisinage 

 de Ä?j =0 , . . . , Xn = ^. 



Pour le cas ou les Hypotheses II et 111 ont lieu, mais Téqua- 

 tion (2) a des racines égales, j'ai réussi å démontrer que les in- 

 tegrales premiéres peuvent étre développées de la maniere sui- 

 vante: 



Ayant décomposé le déterminant JQC) en ses diviseurs élé- 

 mentaires ^) (»Elementar-Theiler») 



j(l) = (X — Z,)'. (I — l.^'^ ... (A — Kfr 



a chaqiie racine Xy de ce produit correspond un Systeme de /,, 1 

 integrales premiéres de la forme suivante 



Tri = Kr,e^'" 

 Ty. + Ty^t = Ky^e^rt 



~ i 



t'r - 



r=l, 



Tyi^, + 7V/,,_ii + . . . + 7V, ,^ _^ = Kri/r'\ 



') Quaat å cette Hypothese M. Poincaré Ta énoncée sous cette forme dans 

 son traité »Sur le problénie des trois corps et les équations de la dyna- 

 mique» Acta Mat. Torne XIII. 



^) Voir Weierstrass »Zur Theorie der bilineuren und quadratischen rormen»| 

 Monatsbericht. Bei'liu 1868, page 311. 



