144 BENDIXSON, SUR LE DÉVELOPPEMENT DES INTEGRALES ETC. 1 



dx 



(*) 





ou X et Y sont des series ordonnées suivant les puissances de 

 X et y, ne contenaiit que des termes de dimension plus grande 

 que deux, et oii a est une constante arbitraire différente de zéro. 

 Nous observons de plus que les coefficients de A" et Y sont des 

 fonctions rationnelles de a. 



Ayant déterminé la constante arbitraire a de teile maniére 

 que Ton ait 



|A|-|2«|>0 



je me propose maintenant d'etablir: 

 l:o que Véquation 



dz dz 



(5) ^[^^^ - Z] + ^ \ly — ax- Y-] = lz 



admet une integrale holomorphe z^ développahle suivajit les puis- 

 sances de X, y, dont les termes de dimension 1 se réduisent a x. 

 2:0 que Véquation 



(6) J^\^^—^^ + -^v^—<^^^' — ^l='^^—^^^ 



admet une integrale holomorphe z^ développable suivant les puis- 

 sances de X, y, les termes de dimension 1 se reduisant ä y. 



Ces deux théorémes prouvés, il s'en suit iraraédiatemment 

 que réquation 



est satisfaite par 



z = z^e~^' 

 et par 



z=^{z.-, + az^t)e~^' 

 d'oü Ton conclut que les équations 



^^e — -t»^! 

 [z^ + az^t]e-^' = K2 



