ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 18 94, N:0 4. 145 



donnent les integrales de Féquation (4). Notre énoiicé de la page 

 142 est alors prouvé pour le cas de n = 2. 



Nous allons donner maintenaiit la demonstration de ces 

 deux théorénies. 



Soient 



Y =2^.««^'™^^" =Y^+ Y^ + ...+ Yg+ ... 

 les développements en serie des fonctions X, Y (Xg, et Yg étant 

 homogenes de degré q en x et en y) et supposons de plus que 



(7) z^ — c^e + Z^ + Z^ + . . . + Zg + . . . 



soit le développement d'une integrale de l'equation (5) \_Zg étant 



homogene de degré q en w et en ?/]. 



La serie (7) devant satisfaire å l'equation (5), on obtient les 



équations suivantes 



dZg , dZg . dZg , „ dZg ~ 1 Y , ^■^q — 1 V , 



-^ Ix + -^ ly ^ ax = iZg + — ^ — X^ + — ^ — 1\+ . . . . 



dx dy ^ dy ^ ox ^ öy "■ 



dz,^_ ^dz,^. 



dx * ^ dy 

 lesquelles peuvent s'ecrire 



(8) Zg(q-l)l-^-^ax^^-^X, + ^-^Y,^.... 



dZ .' dZ^ 



'^ Ix^'-'^ Ty^"-'^^' q = ^...v... 



En égalant les coefficients des deux cötés de cette équa- 

 tion, on obtient 



Cog{q-l)l = P,{A, B, C) 

 C,g - ,{q - 1);. - aqCg = P,{Å , B , C) 



+ -^3 A'^ _ 1 + -X- lg- 1 + Äg 



[ Cgoiq - 1)^ - aC,_i, 1 - Pg{A , B, C) 



oü Fq, P^ . . . Pg sont des fonctions entieres å coefficients entiers 

 positifs de Amn , Bmn et des coefficients Cmn tels que 

 m -\- n<.q — 1 . 



