146 BENDIXSON, SUU LE DÉVELOPPEMENT DES INTEGRALES ETC. 



Ces équations nous permettent donc a calculer tous les 

 coefficients C,„„, et il ne nous reste qu'ä démontrer que la serie 



est convergente. 



Envisageons a cet efFet Téquation 



(10) 1 [X\. - X'-] + I [AV - «'.; - X'] = l'z 



oü X' est une serie ordonnée snivant les puissances de x et y 



X' ^^Ä„^n^"y = X\ + X\ + ... + X'q+ ... 



dont tous les coefficients soiit pnsitifs et satisfont a 



■"mn ^ I -^mn \ i -^mn -^ | J^mn \ i 



et oü l'on a déteriiiiné les deux quantités positives Å' < | Z | , 

 a'>|ci;| de teile maniere que l'on ait 



l' — 2a' > 

 ce qui est toujours possible, Tinegalite 



|;i|-2|«|>o 



étant admise par supposition. 

 Les coefficients d'une serie 



satisfaisant formellement a 1'équation (10) se calculent alors par 

 les équations 



C'o,l\g--l) = P,{A' , A', C) 



6'>A'(?-l)-a'C',_i,i = P,(.4', A', C) 



011 les 1\ sont tout a fait les mémes fontions que dans le 

 Systeme (9). Il est evident que tous les C'mn sont positifs et 

 comme A'<|A|, a'>|a| on aura en outre 



^ mn ^ I '^mn | • 



On peut donc étre sur de la convergence de la serie (7), si Ton 

 sait que la serie ^C'mn-Vy^ est convergente. 



Afin d'etablir la convergence de cette derniére serie, nous 

 la com pärons å la serie qui satisfait å Téquation 



