148 BENDIXSON, SUR LE DÉVELOPPEMENT DES INTEGRALES ETC. 



et celui de réquation (13) est egal å 



(^-i)rc,>. 



Il s'en suit que 



C'ol{q - 1)1' - cx'q\ + C\, _ l{ci - \)V - a'{q - 1)] + - . . 



+ C\lq — l)l'<C,{q — \)r. 



Mais A" étant moindre que 1' — 2«' on voit que 

 {q — l)r <{q~ 1)1' — «V 



J' = 0, 1. ... q 



ce qui nous donne 



(y dq -^ (-' \q — l + ■ ■ • C qO <i Cq . 



On peut donc affirmer que 



Z'q{x , x)<^Z'q(a;) pour x^O; 



Pour ^=^2 on prouve aisément que cette inégalité subsiste, car 



on a 



dZ 

 VZda, y) — ax -^ = X^ 

 dy 



Mais les raenibres droits de ces deux equations sont égaux, 

 si Ton y met y^x, d'oü l'on conclut que 



C '^11' — 2«'] + C\,[_V — «'] + C'^,l' = C"X. 

 Cette derniere équation nous montrant enfin que 



Ü 2 ^ 02 "^ ^' ] ] "^ 20 



on sait que 1'inégalité 



Z'q{x , x)<.Z'g{x) pour .i'>0 

 a lieu pour q = 2, et on peut donc étre sur qu'elle subsiste pour 

 chaque valeur de q. 



Comme tous les coefficients de Z\{x , y) sont positifs, on 

 sait que 



l^'?G^<'' y)\<^\{^^ Q)^ tant que |.r|<^, \y\<Q 



ce qui met en evidence que Ton na qu'å déniontrer que la serie 

 est convergente pour une valeur suffisamraent petite de q. 





