ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 18 94, N:0 4. 149 



Mais la convergence de cette serie s'etablit immédiatemment 

 en écrivant Téquation (11) sous la forme suivante 



dz 



1 



_1 



1 



da- 



"-n- 



A"' 







1 



= - + 



V{^) 



ou |J(.r) est une serie ordonnée suivant les puissances de x. 

 En intégrant on voit enfin que 



X 



f%{,x)dx 



z — xe^ 



est une integrale de Téquation (11), développable en serie procé- 

 dant suivant les puissances de x. En efFectuant ce développe- 

 ment nous obtenons évidemment notre serie 



X +^Zq{x) . 



La convergence de cette serie étant ainsi prouvée, nous 

 pouvons affirmer que la serie (7) est convergente au voisinage 

 de .'C — O, 2/ = O, ce qui établit le théoreme I. 



Afin de démontrer le théoreme II, nous procédons d'une 

 maniere tout analogue. 



Soit 



une serie satisfaisant forraellement å Féquation (6) [_fq étant 

 homogene de degré q en .2; et en ?/], les fonctions fq satisfont 

 aux équations 



jqK{q — V) — a-^- — aAq+ —^ A^ + — ^— i^ + ... 



dx '^ ^ dy 



+ -^ Xq _ 1 + -^— I5 _ 1 + I q 



Envisageons maintenant Féquation 

 (14) ^~ \l'x — Z'] + 1^ [r?/ — a'x — X'-] = Vz — «'.« + X' 



ou X' =^Ä^,,x'"y = X\ + A"3 + . . . + A', + . . . 



