312 KOCH, SUR UN THEOREME DE LA THEORIE ETC. 



n 



(3) AV=^^«0'^i • • ^^n) ^ (^^ = 1 . . r) 



sont linéairement indépendants. 



2:6) Réciproquement^ si un ensemble de transformations 

 (1) ä r parametres essentiels a^ . . a,, vérifie un Systeme d'equa- 

 tions de la forme (2); si cet ensemble comprend la transform,a- 

 tion identique d'une maniere reguliere pour un Systeme de va- 

 leurs «j . . a^_ des ttj . . ur', ') si enfin le déterminant des ipjk{a) 

 ne s'annule pas pour ces valeurs des a, ^) Vensemhle (1) re- 

 présente nécessairement un groupe ä r parametres qui peut etre 

 considéré comme engendré par les r transformations infinitesi- 

 males (3). 



On peut donc dire qu'un ensemble de transformations (1) 

 qui comprend la transformation identique de la maniere indiquée 

 et qui vérifie le systéme (2), constitue un groupe engendré par 

 les transformations infinitesimales (3), pourvoi que le déterminant 

 des Wj/c ne sannule pas pour a —a^, . . , a^=a^. 



Le but de cette note est de montrer que cette derniére 

 condition est inutiie, c'est-ä-dire que la seeonde partie du 



') Pour abréger, uous disons qu'un ensemble (1) comprend la transformation 

 identique d'une maniere reguliere pour a =«''.. o^, =a^ , si å ces valeurs 

 on peut faire correspondre un systéme au moins de valeurs x" . . x^ tel que 

 les fonctions (1) soient holomorphes par lapport aux x et aux a dans le 

 voisinage du point x ^.-c" , .., a;,j = a3^; '*,— ^% ••' "r~^r ^^ 1"^' ^^ 

 plus, on ait identiquement 



x'^ = Xj pour a = a" , . . , a^^. — a^. («=1 . . ?i) . 



^) Dans sa demonstration, M. Lie suppose encore que les ■^jj^{a) soient holo- 

 morphes daus le voisinage du point a =«" . . a^, = a^,. (Il a, en effet, besoin 

 de cette hypothése pour pouvoir integrer le systéme d'equations 



2 dan- o 



avec les conditions initiales «^, = flj? pour t — O: voir: Theorie der Trans- 

 formationsgruppen, III, p. 559 et 562). Comme nous allons le voir dans 

 la suite, cette hypothése n'est pas nécessaire car eile se trouve toujours 

 vérifiée. 



