314 KOCH, SUR UN THEOREME DE LA THEORIE ETC. 



sont linéairement indépendants, c'est-a-dire, il n'existe pas de 

 constantes c, . . c,. (sauf c^=0, .., c,. = 0) pour lesquelles on 

 ait identiquement 



(8') 6'i<^i,- + C2^2i + ■ ■ + Cr^ri — {l = l . . Tl) . 



Les fouctions ^/i(a;\ . . *■'„) sont nécessairement holomorphes 

 dans le voisinage du point 



/QN. ' __ ' , 



{.i}) ^ ] — -^l ' • • , '^'j; — '"»-'^ ) 



en effet, d'apres les hypotheses faites, ou pourra écrire, dans ur 

 certain voisinage du point (6): 



(9') a;'i = .Vi + 'Pi{x — x^ ; a — aP) (z = 1 . . n) 



les Ißi désignant des series convergentes procédant selon les 

 puissances entieres et positives de 



rirw 0.0 



(10) x^ —x^, . . , c^■^^ — x^^ ; a^—a^, . . , a. — a^. 



et s'annulant identiquement par rapport aux x quand on y fait 

 a, = a? , ... a — a' . Mais de la, en vertu d'un théoreme bien 



1 1 ' ' ?' r ' 



counu de la théorie des fonctions, on conclut qu'on peut écrire 

 aussi 



(11) Xi = x'i + Pi(x' — x^ ; a — a^) , 



les |) désignant des series semblables par rapport aux quantités 



/ 1 a\ / o ,0 O O 



(12) X , — X, , . . , X — X ; a. — a. , . . , a — a . 



\ / 1 1 ' ' ra Ji ' 1 1 ' ?• r 



Portant ces expressions dans les torraules 

 dx'i dlßi{x~-x\ a — a^) 



daji: duk 



(e = 1 . . w ; k-^1 . . r) , 



obtenues par la différentiation des formules (9'), on voit donc que 



dx' ■ 

 les -^ — ^, considérés comnie loncti 



holomorphes dans le voisinage de 



dx' ■ 

 les -^ — ^, considérés comme fonctions des variables x' et a, sont 



(13) x\ = .r, , . . , x'^^ = .r„ ; «1 = a; , .... a^ - a°. 



