316 KOCH, SUR UN THEOREME DE LA THEORIE ETC. 



lesquelles les relations (8') seraient vraies identiquement, ce qui 

 est impossible. 



Donc, se rappelant que les coefticients ^ß; u^..fi^^ sont des 

 constantes (indépendantes des a) et que les 'Jj^; ^, ..^^^ sont des 

 fonctiuns des a holomorphes dans le voisinage du point (15), on 

 voit bien que les équations (16) permettent d'exprimer les if'jkio) 

 coinme des fonctions des a, holomorphes dans le voisinage du 

 point (15). 



Ces remarques t'aites, nous pouvons passer au point essentiel 

 de notre demonstration. Nous avons vu que, dans les équations 

 (5), les fonctions ipjkici) sont nécessairement holomorphes dans J 

 le voisinage du point (15); il en est donc de merne de leur 

 déterminant 



ipn • • ipu 



que nous désignerons par J. Si ce déterminant ne s'annule 

 pas pour 







«1 = «1 , • • , a, = «,. , 



le théoréme de M. Lie nous affirme que les transformations (4) 



förment un groupe. Plagons nous dans le cas contraire et 



supposons que z/ s'annule au point (15); pour simplifier l'ecri- 

 ture, nous supposerons en outre 



(18) 



aj = 







Dans tout domaine autour du point (18) å l'interieur duquel 

 les ipjk{a) sont holomorphes, il y a une infinite de points pour 

 lesquels J ne s'annule pas; soit äi . . ä,. un tel point. Designens 

 les seconds membres des formules (11) par (Di{x' ; a) et posons 



(19) Ui = Oi{xi . . Xn ; äi . . är) 



(20) Zi=^fi{yi . . y„', ci . . c,,) , 



c'i . . Cr désignant r parametres nouveaux. Les y étant regardés 

 comme des constantes arbitraires, les 2,-, considérés comme fonc- 



