318 KOCH, SUR UN THEOREME DE LA THEORIE ETC. 



Donc, d'apres un théoröme bien connu de la tliéorie des 

 équations aux dérivées partielles,') il existe r fonctions 



(27) 



^1 = <iPi(^i • • ^>) , • • , c,. = (jp,.(rtj . . a,.) 



satisfaisaiit aux équations (24), holomorphes dans le voisinage 

 du point (18) et prenant, datis ce point, les valeurs initiales (26). 

 Ces fonctions sont d'ailleurs indépendantes, car leur déter- 

 uiinant fonctionnel est, en vertu du Systeme (24), egal au 

 produit des deux déterminants 



i//ii(a) . . i//i,(a) 



«,i(c). .«„.(c) 



ß,.^(c) . . a,,{c) 



dont aucun ne s'annule identiquement par rapport aux a. 



Par la transformation (27), nos fonctions z déviennent des 

 fonctions" des a satisfaisant, en vertu du Systeme (21), aux 

 équations suivantes 



dan: / j 



(28) ^ =2_ n'A^)^) {i = \..n',k = \..T). 

 i=i 



Pour aj=0, .., a,. = 0, les c prennent les valeurs (26) de 

 sorte que les Zi déviennent respectivement égaux aux Xi. Or, 

 nous avons déjå un systéme de r fonctions, å savoir 

 /,(/p; d). .fn{x; a), 



satisfaisant ä ce méme systéme (28), holomorphes dans le voi- 

 sinage du point a, =0, .., a,.= et prenant, dans ce point, 

 les mémes valeurs initiales x-y..Xn- Donc, une Solution de (28) 

 définie par ces conditions étant nécessairement unique, nous 

 devons avoir identiquement 



(29) Zi -^fi{o:^ . . x„ ; «1 . . a,.) {i = l . . n) . 



Or, d'apres le théoréme de M. Lie énoncé au debut, les 

 Zi^ considérés comme fonctions des x et des c, förment un 

 groupe å r- paramétres; il en est donc de méme des fonctions (4). 



') Voir, p. ex., Gouksat, Legotis sur Tintégratiou des équatious aux dérivées 

 partielies du premier ordre, p. 70. Paris, Hermann, 1891. 



