320 KOCH, SUR UN THEOREME DE LA THEORIE ETC. 



Donc, désignant les seconds membres des formules (32) par 

 Fi{x^ . . .r„; e, . . er), nous pouvons écrire, en vertu de (29), les 

 fonctions (4) sous la forme 



ce qui prouve bien que Vensemble (4) coiistitue im groupe ä >■ 

 parametres, engendré par les r transformutions infinitesimales 

 (30). c. q. f. d. 



Nous pouvons donc, en particulier, énoncer les théorénies 

 suivants: 



I. Tout groupe continu de Irans formations ä r parametres 

 qui comprend la transformation identique d^une maniere re- 

 guliere, est engendré par r transformations infinitesimales liné- 

 airement indépendantes.^) 



II. Tout ensemble de transformations (4) ä r parametres 

 qui comprend la transformation identique d'une maniere re- 

 guliere et qui vérifie un Systeme d'equations de la forme (5), 

 eonstitue un groupe continu a r parametres, engendré par les r 

 transformations infinitesimales (8). 



in. Pour qiiun ensemble de transformations (4) ä r para- 

 metres qui comprend la transformation identique dhine maniere 

 reguliere, eonstitue un groupe, il faut et il suffit que cet en- 

 semble vérifie un Systeme d'equations de la forme (5). -) 



En terminant, je dois citer deux mémoires de M. Schur ^) 

 qui ont pour objet l'etude des théorémes fondamentaux de la 

 théorie des groupes. M. ScHUR y a présenté le premier théo- 

 réme fondamental sous une forme qui est, en apparence, déba- 



') Antänt qne je sais, ce théoréme n'a pas été démontré auparavant que dans 

 deux cas: l:o si le groupe vérifie un systéme d'equations de la forme (5) 

 oii le déterminant des ipj/c{a) ne s'annule pas pour les valeurs des parametres 

 correspondant å la transformation identique (c'est lä le théoréme enoncé au 

 debut): 2:0 si Ton sait a priori que les transformations du groupe sont deux 

 ä deux inverses (Voir: Theorie der Transformationsgruppen, III, p. 566). 



^) Cest le premier théoréme fondamental de M. Lie, débarassé de la restric 

 tion relative au déterminant des ^pjk- 



^) Mathematische Annalen, t. 35, p. 161,- t. ;]8, p. 268. 



